土筆の子



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3件の内、新着の記事から10件ずつ表示します。


[3] AB=2A+3B のとき AB=BA 

投稿者: 土筆の子 投稿日:2014年 1月26日(日)09時50分23秒 197.242.accsnet.ne.jp  通報   返信・引用

AB=2A+3B をみたすとき AB=BA を示せ

飯高茂著、線形代数、朝倉書店のP50にあった問題です。
こんな、成分の展開をまずは、やってみたかったのでした。

A = {{a, b}, {c, d}}; B = {{x, y}, {z, w}}
A.B = {{a x + b z, b w + a y}, {c x + d z, d w + c y}}
2*A + 3*B = {{2 a + 3 x, 2 b + 3 y}, {2 c + 3 z, 2 d + 3 w}}
B.A = {{a x + c y, b x + d y}, {c w + a z, d w + b z}}

したがって以下が成り立つ。
a x + b z == 2 a + 3 x,
d w + c y == 2 d + 3 w,
b w + a y == 2 b + 3 y,
c x + d z == 2 c + 3 z,

上の関係から{x, y, z}を消去して, wで解くと、
w -> (2 (b c + 3 d - a d))/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)  ①

上の関係から{x, y, w}を消去して, zで解くと、
z -> (6 c)/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)  ②

上の関係から{x, z, w}を消去して, yで解くと、
y -> (6 b)/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)  ③

上の関係から{y, z, w}を消去して,xで解くと
x -> (2 (-3 a - b c + a d))/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d) ④

Bの{{x, y}, {z, w}}; に①、②、③、④を代入して改めてそれを、行列Bとすると

B ={{(2 (-3 a - b c + a d))/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d), (6 b)/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)}, {(6 c)/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d), (2 (b c + 3 d - a d))/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)}}

A.B ={{(2 (-3 a^2 - 3 b c - a b c + a^2 d))/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d), ( 2 b (-3 a - b c - 3 d + a d))/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d)}, {(2 c (3 a + b c + 3 d - a d))/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d), (2 (-3 b c - b c d - 3 d^2 + a d^2))/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d)}}

B.A ={{(2 (-3 a^2 - 3 b c - a b c + a^2 d))/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d), ( 2 b (3 a + b c + 3 d - a d))/(-9 + 3 a + b c + 3 d - a d)}, {(2 c (-3 a - b c - 3 d + a d))/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d), (2 (-3 b c - b c d - 3 d^2 + a d^2))/(9 - 3 a - b c - 3 d + a d)}}

すなわち、A.B = B.A

これは、計算ソフトを使っています。手計算ではなかなか、やる気はしないと思います。
普通は、以下の通りにならうと思います。

以下は、S(H)さんによります。
========
AB=2A+3B なら
(A-3E)(B-2E)=AB-2A-3B+6E=O+6E=6E

(A-3E)∈GL(n,K),(B-2E)∈GL(n,K)

6E=(B-2E)(A-3E)=BA-2A-3B+6E
∴ BA-2A-3B=O
∴ BA=2A+3B=AB
∴ 可換 QED.
========
参考
http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~kawashima/alg/ansreall2.pdf

成分に分けると何をしているのか、見失いますが、
行列になってまとまって取り扱うと全体像が見える気がします。
両方眺めると、よく納得できます。




[2] Yasumath さんの問題

投稿者: 土筆の子 投稿日:2014年 1月11日(土)23時33分19秒 197.242.accsnet.ne.jp  通報   返信・引用

http://userdisk.webry.biglobe.ne.jp/020/691/47/N000/000/003/138867238427346887226_CubicFormula.gif

http://www.math.tohoku.ac.jp/~atsushi/Duty/2005_2.pdf

5 あるいは、練習19について、も、残しておきますね。

(i)
β1 = α1 + α2 ω + α3 ω^2
β2 = α1 + α2 ω^2 + α2 ω
1 + ω + ω^2 =0
α1 + α2 + α3= 0
から、

α1= (1/3) (β1 + β2)
α2= (1/3) (β1 ω^2 + β2 ω)
α3= (1/3) (β1 ω + β2 ω^2)

(ii)
β1= α1 + α2*ω + α3*ω^2
β2 = α1 + α3*ω + α2*ω^2
β1*β2=(α1+α2*ω+α3*ω^2)(α1+α3*ω+α2*ω^2)
= α1^2+α2^2+α3^2+(α1 α2+α1 α3+α2 α3) ω+(α1 α2+α1 α3+α2 α3) ω^2 ①
一方:
(α1+α2+α3)^2=α1^2+2 α1 α2+α2^2+2 α1 α3+2 α2 α3+α3^2
0=α1^2+2 α1 α2+α2^2+2 α1 α3+2 α2 α3+α3^2
したがって、
α1^2+α2^2+α3^2= -2( α1 α2+ α1 α3+ α2 α3)

①は、
α1^2+α2^2+α3^2+(α1 α2+α1 α3+α2 α3) ω+(α1 α2+α1 α3+α2 α3) ω^2
=(-2+ω+ω^2)(α1 α2+α1 α3+α2 α3)
ここで、
α1α2+α1α3+α2α3= a
-2+ω+ω^2=-3

したがって、
β1*β2=-3a


(iii)

β1^3+β2^3=

2 α1^3+2 α2^3+12 α1 α2 α3+2 α3^3
+3 α1^2 α2 ω+3 α1 α2^2 ω+3 α1^2 α3 ω+3 α2^2 α3 ω+3 α1 α3^2 ω+3 α2 α3^2 ω
+3 α1^2 α2 ω^2+3 α1 α2^2 ω^2+3 α1^2 α3 ω^2+3 α2^2 α3 ω^2+3 α1 α3^2 ω^2+3 α2 α3^2 ω^2

= 2 α1^3+2 α2^3+12 α1 α2 α3+2 α3^3+(3 α1^2 α2+3 α1 α2^2+3 α1^2 α3+3 α2^2 α3+3 α1 α3^2+3 α2 α3^2) ω+(3 α1^2 α2+3 α1 α2^2+3 α1^2 α3+3 α2^2 α3+3 α1 α3^2+3 α2 α3^2) ω^2

=2 (α1^3+α2^3+α3^3)+12 α1 α2 α3
+3 α1 {(ω+ω^2) α1α2+(ω^2+ω) α1α3}
+3 α2 {(ω^2+ω) α2α1+(ω+ω^2) α2α3}
+3 α3 {(ω+ω^2) α3α1+(ω^2+ω) α3α2}

=2 (-3 b)+12 (-b)
+3 α1 {(-1) α1α2+(-1) α1α3}
+3 α2 {(-1) α2α1+(-1) α2α3}
+3 α3 {(-1) α3α1+(-1) α3α2}

=2 (-3 b)+12 (-b)
+3 α1 {-a+α2α3}
+3 α2 {-a+α3α1}
+3 α3 {-a+α1α2}

=-6 b-12 b +9 α1α2α3
=(-6-12-9)b =-27b

もとより、x^3+ax+b=0より、以下の関係を使っている。
α1+α2+α3= 0
α1α2+α1α3+α2α3= a
α1α2α3= -b
又、1の3乗根は、1+ω+ω^2=0

(iv)
Factor[Discriminant[x^3+a x+b,x]]
-4 a^3-27 b^2
Factor[Discriminant[x^2+27 b x-27 a^3,x]]
27 (4 a^3+27 b^2)

これは、実際計算してみると大変でした。

α1=(1/3) (β1+β2)
α2=(1/3) (ω^2 β1+ω β2)
α3=(1/3) (ω β1+ω^2 β2)

(α1-α2)=(1/3){(1-ω^2)β1+(1-ω)β2}=(1/3)(1-ω){(1+ω)β1+β2}
(α2-α3) =(1/3) {(ω^2-ω) β1+(ω-ω^2) β2}=(1/3) ω(ω-1) { β1-β2}
(α3-α1) =(1/3) {(ω-1) β1+(ω^2-1) β2}=(1/3) (ω-1) { β1+(1+ω)β2}

{(1+ω) β1+β2} {β1+(1+ω) β2}
=(1+ω) β1^2+{(1+ω)^2+1}β1 β2+(1+ω)β2^2
=(1+ω) {β1^2+β1 β2+ β2^2}

∵ {(1+ω)^2+1}=1+2ω+ω^2+1=ω+1

{β1-β2} {β1^2+β1 β2+β2^2}
={ β1^3-β2^3}

h(ω)=(1-ω) ω (ω-1)(ω-1)(1+ω)=ω-2 ω^2+2 ω^4-ω^5
ω^3->1,ω^4->ω,ω^5->ω^2
h(ω)= 3 ω-3 ω^2
h (ω)^2=9ω^2(1-ω)^2=9ω^2(1-2ω+ω^2)=9ω^2(-3ω)=-27

(α1-α2) (α2-α3) (α3-α1)=(1/3)^3(3 ω-3 ω^2){β1^3-β2^3}
{(α1-α2) (α2-α3) (α3-α1)}=((1/3)^3 )^2(-27) {β1^3-β2^3}^2=(-1/27){β1^3-β2^3}^2

Δ (f (x))={(α1-α2) (α2-α3) (α3-α1)}^2=(-1/27) {β1^3-β2^3}^2=(-1/27) Δ (g (x))


問6(課題9)
今回で、対称式は基本対称式の整式として表されることが、よくわかりました。

(i) はほぼ自明なので、省略

α1 + α2 + α3 + α4 = 0
α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 + α1 α4 + α2 α4 + α3 α4 = a
α1 α2 α3 + α1 α2 α4 + α1 α3 α4 + α2 α3 α4 = -b
α1 α2 α3 α4 = c

β1 = α1 - α2 + α3 - α4 = 2 (α1 + α3)
β2 = α1 + α2 - α3 - α4 = 2 (α1 + α2)
β3 = α1 - α2 - α3 + α4 = 2 (α1 + α4)

α1 = (1/4) (b1 + b2 + b3)
α2 = (1/4) (-b1 + b2 - b3)
α3 = (1/4) (b1 - b2 - b3)
α4 = (1/4) (-b1 - b2 + b3)

(ii)

β1 β2 β3
= 2 (α1 + α3) 2 (α1 + α2) 2 (α1 + α4)
= 8 α1^3 + 8 α1^2 α2 + 8 α1^2 α3 + 8 α1 α2 α3 + 8 α1^2 α4 +
8 α1 α2 α4 + 8 α1 α3 α4 + 8 α2 α3 α4
= 8 (α1^3 + α1^2 α2 + α1^2 α3 + α1^2 α4 + α1 α2 α3 + α1 α2 α4 +
α1 α3 α4 + α2 α3 α4)
= 8 {α1 (α1^2 + α1 α2 + α1 α3 + α1 α4) + α1 α2 α3 + α1 α2 α4 +
α1 α3 α4 + α2 α3 α4}
= 8 {0 + α1 α2 α3 + α1 α2 α4 + α1 α3 α4 + α2 α3 α4}
= -8 b

∵ α1^2 + α1 α2 + α1 α3 + α1 α4
= α1 (-α2 - α3 - α4) + α1 (α2 + α3 + α4) = 0

(iii)

(α1 + α2 + α3 + α4)^2
=α1^2 + α2^2 + α3^2 + α4^2 +
2 (α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 + α1 α4 + α2 α4 + α3 α4)

a1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2 = -2 a

∵ α1 α2 + α1 α3 + α2 α3 + α1 α4 + α2 α4 + α3 α4 = a

(β1 + β2 + β3)^2 = β1^2 + 2 β1 β2 + β2^2 + 2 β1 β3 + 2 β2 β3 + β3^2
(-β1 + β2 - β3)^2 = β1^2 - 2 β1 β2 + β2^2 + 2 β1 β3 - 2 β2 β3 + β3^2
(β1 - β2 - β3)^2 = β1^2 - 2 β1 β2 + β2^2 - 2 β1 β3 + 2 β2 β3 + β3^2
(-β1 - β2 + β3)^2 = β1^2 + 2 β1 β2 + β2^2 - 2 β1 β3 - 2 β2 β3 + β3^2

∵ α1 = (1/4) (β1 + β2 + β3)
α2 = (1/4) (-β1 + β2 - β3)
α3 = (1/4) (β1 - β2 - β3)
α3 = (1/4) (-β1 - β2 + β3)

16 (α1)^2 = (β1 + β2 + β3)^2 = β1^2 + β2^2 + β3^2 + 2 β1 β2 + 2 β1 β3 + 2 β2 β3
16 (α1)^2 = (-β1 + β2 - β3)^2 = β1^2 + β2^2 + β3^2 - 2 β1 β2 + 2 β1 β3 - 2 β2 β3
16 (α1)^2 = (β1 - β2 - β3)^2 = β1^2 + β2^2 + β3^2 - 2 β1 β2 - 2 β1 β3 + 2 β2 β3
16 (α1)^2 = (-β1 - β2 + β3)^2 =β1^2 + β2^2 + β3^2 + 2 β1 β2 - 2 β1 β3 - 2 β2 β3

16 (-2 a) = 4 (β1^2 + β2^2 + β3^2)

β1^2 + β2^2 + β3^2 = -8 a

対称式は基本対称式の整式として表される。

β1 + β2 + β3 = s1
β1β2 + β2β3 + β3β1 = s2
β1β2β3 = s3

β1^2 + β2^2 + β3^2 = s1^2 - s1s2
β1β2 + β2β3 + β3β1 = s2^2 - 2 s1s2
β1β2β3 = s3^2

s1 = 4 α1
s2 = 4 a + 8 α1^2
s3 = -8 b

s1^2 - s1s2 = -8 a
s2^2 - 2 s1s2 = 16 a^2 - 64 c
s3^2 = 64 b^2

α1^4 + aα1^2 + bα1 + c = 0 の関係を使った

(iv)
D (f (x)) = 「積の記号」 (αi - αj)^2
D (g (x)) = 「積の記号」 (βi^2 - βj^2)^2

(βi^2 - βj^2) = (βi + βj) (βi - βj)

(β1 + β2) = 2 (α1 - α4)
(β1 + β3) = 2 (α1 - α2)
(β1 - β2) = -(α2 - α3)
(β1 - β3) = (α3 - α4)
i = 1, 2, 3

((2^2)^3)^2 = 2^12 = 4096
(((-1)^(1))^3)^2 = 1

参考:
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/huhensiki/node4.html



[1] 掲示板が完成しましたキラキラ

投稿者: teacup.運営 投稿日:2014年 1月11日(土)21時59分48秒 197.242.accsnet.ne.jp  通報   返信・引用

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